Question

已知數列{a_n}，a₁=2a+1（a≠-1的常數），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2，n∈N^?），數列{b_n}的首項，b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2，n∈N^?）．
（1）證明：{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列并求{b_n}通項公式；
（2）設S_n為數列{b_n}的前n項和，且{S_n}是等比數列，求實數a的值；
（3）當a＞0時，求數列{a_n}的最小項．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn（n≥2）及b₂=a₂+4=4a+4，可證{b_n}從第2項起的等比數列，結合等比數列的通項公式可求；
（2）由（1）可求S_n，結合{S_n}是等比數列，及等比數列的特點可求a；
（3）由n≥2時，an=bn-n2，可求a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

，可得數列{a_n}的項為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項，結合a的范圍可求最小項．

解答：解：由題意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2
=2an+2n2=2bn（n≥2）
b₂=a₂+4=4a+4，
∵a≠-1，b₂≠0，即{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列
∴bn=(4a+4)•2n-2=（a+1）•2ⁿ（n≥2）
∴bn=

a(n=1) (a+1)2n(n≥2，n∈N)

（2）由（1）求得Sn=a+

(4a+4)(2n-1-1)

2-1

=-3a-4+(2a+2)2n
∵{S_n}是等比數列，
∴3a+4=0，即a=-

4

3

．
（3）由已知當n≥2時，an=bn-n2，
∴a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

所以數列{a_n}為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項．
當a∈(0，

1

4

)時，最小項為8a-1； 
當a∈(

1

4

，

1

2

)時，最小項為4a；
當a∈(

1

2

，+∞)時，最小項為2a+1．
當a=

1

4

時，最小項為4a或8a-1
當a=

1

2

時，最小項為4a或2a+1；

點評：本題主要考查了等比數列的定義在數列中應用，數列的遞推公式在數列的通項求解中的應用，屬于數列知識的綜合應用