Question

如圖，直線AB為圓O的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.

(1)證明：DB＝DC；

(2)設圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

 

Answer 1

(1)見解析 (2)

【解析】

(1)證明　連接DE，則∠DCB＝∠DEB，

∵DB⊥BE，

∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，

∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，

又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，

∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，

∴DB＝DC.

(2)解　由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，

∴∠BDE＝∠CDE，

∴DE是BC的垂直平分線，

設交點為H，則BH＝，

∴OH＝＝，

∴DH＝，

∴tan∠BDE＝＝，

∴∠BDE＝30°，

∴∠FBE＝∠BDE＝30°，

∴∠CBF＋∠BCF＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BC是△BCF的外接圓直徑．

∴△BCF的外接圓半徑為