Question

（2006•黃浦區二模）已知拋物線pa：y=x2+ax+a-2（a為實常數）．
（1）求所有拋物線p_a的公共點坐標；
（2）當實數a取遍一切實數時，求拋物線p_a的焦點方程．
【理】（3）是否存在一條以y軸為對稱軸，且過點（-1，-1）的開口向下的拋物線，使它與某個p_a只有一個公共點？若存在，求出所有這樣的a；若不存在，說明理由．
【文】（3）是否存在直線y=kx+b（k，b為實常數），使它與所有的拋物線p_a都有公共點？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a取不同實數時，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2，整理可得（a-b）x=b-a，從而可求
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)，從而可得拋物線的焦點為：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）例如可設拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過點（-1，-1）可得p=

1

2

，此時拋物線方程為x²=-y，聯立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0課檢驗
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過定點（-1，-1），則只要直線y=kx+b過定點（-1，-1）即可

解答：解：（1）當a取不同實數時，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2
可得x²+ax+a-2=x²+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
當a取不同實數時，所有拋物線p_a的公共點坐標（-1，-1）
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)
∴拋物線的焦點為：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）在滿足條件的拋物線例如可設拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過點（-1，-1）可得p=

1

2

，此時拋物線方程為x²=-y
聯立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0
若a=4時，此時△=a²-8a+16=（a-4）²=0
即x²=-y與P₄：y=x²+4x+2只有一個公共點
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過定點（-1，-1）
則只要直線y=kx+b過定點（-1，-1）即可
此時b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）滿足條件
故存在這樣的直線

點評：本題主要考查了由拋物線的方程求解拋物線的性質及直線與拋物線的位置關系的考查，直線方程的應用，屬于綜合性試題