Question

設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

．
（1）若a=1，且p且q為真，求實數x的取值范圍；
（2）非p是非q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據充要條件的定義進行判斷，但解題的關鍵是絕對值不等式及對數不等式的解法．

解答：解：（1）∵命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，
當a=1時，1＜x＜3，
∴即p為真命題時，實數x的取值范圍：1＜x＜3．
又∵命題q：實數x滿足

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

．
由

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

解得即

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

∴所以q為真時，實數x的取值范圍：2＜x≤3．
∵若p且q為真，
∴p真q真，則

1＜x＜3 2＜x≤3

?2＜x＜3
∴實數x的取值范圍是（2，3）
（2）∵不妨設A={x|x≤a，或x≥3a}，B={x|x≤2，或x＞3}
∵非p是非q的充分不必要條件，
∴A?B．
∴0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．
∴實數a的取值范圍是（1，2]．

點評：判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．