Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，平面是線段上的動點，是線段上的中點.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，且直線所成角的余弦值為，試指出點在線段上的位置，并求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據棱柱為直棱柱可得平面平面BC，由D為BC中點，得AD垂直BC，由面面垂直的性質定理可得，從而得到證明；（Ⅱ）由直線所成角得，可得長度，從而看確定點E的位置，然后利用可求得所求體積.

（Ⅰ）因為，所以平面ABC.

而平面BC,所以平面平面BC.

因為線段的中點為，且是等腰三角形，所以

而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,

所以.又因為，所以

（Ⅱ），則.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.

在三棱柱中，，直線所成角的余弦為，

則在中，，，所以.

在中，，所以.因為，

所以點是線段的靠近點的三等分點.

因為

所以.