Question

設{a_n}是由正數組成的等差數列，S_n是其前n項和，
(1)若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
(2)若有互不相等的正整數p、q、m，使得p+q=2m，證明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
(3)是否存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1(n∈N*)恒成立？若存在，試求出常數k和數列{a_n}的通項公式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1)在等差數列{a_n}中，成等差數列，
∴，
∴；
(2)

；
(3)設（p、q為常數)，則，
，
，
∴，
依題意有，，
對一切正整數n成立，∴，
由①得，p=0或；
若p=0，代入②有q=0，而p=q=0不滿足③，∴p≠0；
將代入②，
∴，代入③得，，
將代入，得，解得，
故存在常數及等差數列使其滿足題意。