Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的偶函數，且當x∈[1，2]時，該函數的值域為[-2，1]．求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由f（x）為偶函數可知f（x）=f（-x），故ax³+cx=0恒成立，所以f（x）=bx²+d，由此能夠求出函數f（x）的解析式．

解答：解：∵函數f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x），即-ax³+bx²-cx+d=ax³+bx²+cx+d
∴ax³+cx=0恒成立，
故f（x）=bx²+d．（4分）
當b=0時，由函數f（x）的值域不是常數知不合題意；（5分）
當b＞0，x∈[1，2]時f（x）單調遞增，又f（x）值域為[-2，1]，
所以

f(1)=-2 f(2)=1

⇒

b+d=-2 4b+d=1

⇒

b=1 d=-3

．（9分）
當b＜0，同理可得

f(1)=1 f(2)=-2

⇒

b+d=1 4b+d=-2

⇒

b=-1 d=2

，（12分）
所以f（x）=x²-3或f（x）=-x²+2．（13分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．