Question

【題目】在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式:

具體過程如下：

如圖，在平面直角坐標系內作單位圓O，以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.

則

由向量數量積的坐標表示，有：

設的夾角為θ，則

另一方面，由圖3.1—3（1）可知，；由圖可知，

.于是.

所以，也有，

所以，對于任意角有：（）

此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了.

閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關數據（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：

（1）判斷是否正確？（不需要證明）

（2）證明：

（3）利用以上結論求函數的單調區間.

Answer 1

【答案】(1)正確;(2)見解析;(3)單調遞增區間為，

的單調遞減區間為

【解析】

(1) 因為對是方向上的單位向量,又且與共線,即可判斷出正確;

(2)在中, ,又,表示出,的坐標,由縱坐標對應相等化簡即可證得結論;

即

(3)由(2)結論化簡可得借助正弦型函數的性質即可求得結果.

(1) 因為對于非零向量是方向上的單位向量,又且與共線,所以正確;

(2) 因為M為AB的中點,則,從而在中, ,又,又,,所以,

即

(3) 因為令,解得:

所以的單調遞增區間為

令,解得:

所以的單調遞減區間為