Question

F₁、F₂分別是雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．向量

AB

| AB |

在向量

F1F2

方向的投影是p．
（1）根據(jù)條件求出b和k滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)(

OA

•

OB

)p2=1時(shí)，求直線l的方程；
（3）當(dāng)(

OA

•

OB

)p2=m，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關(guān)系式；
（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與b和k之間的等式，再利用(

OA

•

OB

)p2=1以及（1）的結(jié)論求出b和k進(jìn)而求得直線l的方程；
（3）用類似于（2）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長(zhǎng)，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．

解答：解：（1）雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，從而圓O的方程為x²+y²=2．
由于直線y=kx+b與圓O相切，
所以有

|b|

1+k2

=

2

．
即b²=2（k²+1），（k≠±1）為所求．（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由

y=kx+b x2-y2=1.

消去y并整理得，（k²-1）x²+2kbx+（b²+1）=0，其中k²≠1．
根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=

2kb

1-k2

，x1x2=

b2+1

k2-1

．（5分）
從而

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)

b2+1

k2-1

+

2k2b2

1-k2

+b2．
又由（1）知b2=2(k2+1)，∴

OA

•

OB

=(1+k2)

2k2+3

k2-1

+

4k2(k2+1)

1-k2

+2(k2+1)．
又由于

AB

| AB |

在

F1F2

方向上的投影為p，
所以p2=cos2＜

AB

，

F1F2

＞=

1

1+k2

．∴(

OA

•

OB

)p2=

2k2+3

k2-1

+

4k2

1-k2

+2=1．
即2k²+3-4k²+2k²-2=k²-1，（8分）
∴k2=2?k=±

2

，b=±

6

所以直線l的方程為y=±

2

x+

6

或y=±

2

x-

6

．（9分）
（3）類似于（2）可得

2k2+3

k2-1

+

4k2

1-k2

+2=m，
即2k²+3-4k²+2k²-2=mk²-m，
∴k2=1+

1

m

，b2=4+

2

m

．（10分）
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2kb 1-k2 )2- 4(b2+1) k2-1

=2

1+k2

b2+1-k2 (1-k2)2

=2

(2+ 1 m )(4+ 2 m +1-1- 1 m ) 1 m2

=2

(2m+1)(4m+1)

．
∵S△AOB=

1

2

|AB|•

2

=

1

2

×2

(2m+1)(4m+1)

×

2

=

16m2+12m+2

=

16(m+ 3 8 )2- 1 4

而2≤m≤4，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S△AOBmin=

16×22+12×2+2

=3

10

當(dāng)m=4時(shí)，S△AOBmax=

16×42+12×4+2

=3

34

因此△AOB面積的取值范圍是[3

10

，3

34

]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)函數(shù)，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識(shí)點(diǎn)較多，是道難題．