Question

己知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanC=

ab

a2+b2-c2

（Ⅰ）求角C大小；
（Ⅱ）當c=1時，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析：（I ） 利用銳角△ABC中，sinC=

1

2

，求出角C的大小．
（II）先求得 B+A=150°，根據B、A都是銳角求出A的范圍，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根據 a²+b²=4+2

3

sin（2A-60°） 及A的范圍，得（2A-60°），從而得到a²+b²的范圍．

解答：解：（I ）由已知及余弦定理，得tanC=

ab

a2+b2-c2

=

ab

2abcosC

=

sinC

cosC

，
∴sinC=

3

2

，故銳角C=

π

6

．
（II）當C=1時，∵B+A=150°，∴B=150°-A．由題意得

A＜90° 0°＜150°-A＜

90°，
∴60°＜A＜90°．由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴a²+b²=4[sin²A+sin²（A+30°）]=4[

1-cos2A

2

+

1-cos(2A+60°)

2

]=4[1-

1

2

cos2A-

1

2

（

1

2

cosA-

3

2

sin2A）]=4+2

3

sin（2A-60°）．
∵60°＜A＜90°，∴（2A-60°）．
∴7＜a²+b²≤4+2

3

．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，正弦定理得應用，其中判斷sin（2A-60°）的取值范圍是本題的難點．