Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n≠0（n∈N^*），則下列等式成立的是（　　）

• A．S_n+S_2n=S_3n
• B．

  Sn

  S2n

  =

  S2n

  S3n

• C．

  Sn

  S2n-Sn

  =

  S2n-Sn

  S3n-Sn

• D．

  Sn

  S2n-Sn

  =

  S2n-Sn

  S3n-S2n

Answer 1

分析：設出等比數列的首項與公比，利用等比數列的前n項和公式表示出S_n，S_2n及S_3n，代入各選項中驗證，即可得到正確的選項．

解答：解：設等比數列的首項為a，公比為q，
∵S_n=

a(1-qn)

1-q

，S_2n=

a(1-q2n)

1-q

，S_3n=

a(1-q3n)

1-q

，
顯然A和B選項錯誤，
∴

Sn

S2n-Sn

=

a(1-qn) 1-q

a(1-q2n) 1-q - a(1-qn) 1-q

=

1

qn

，且

S2n-Sn

S3n-S2n

=

a(1-q2n) 1-q - a(1-qn) 1-q

a(1-q3n) 1-q - a(1-q2n) 1-q

=

1

qn

，
則

Sn

S2n-Sn

=

S2n-Sn

S3n-S2n

．
選項C錯誤，選項D正確，
則等式成立的選項為D．
故選D

點評：此題考查了等比數列的前n項和公式的運用，以及等比數列的性質，設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，當S_n≠0時，理解S_n，S_2n-S_n，及S_3n-S_2n成等比數列是解本題的關鍵．