Question

已知函數f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x₀∈（a，b），使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)”成立．
（1）利用這個性質證明x₀唯一；
（2）設A、B、C是函數f（x）圖象上三個不同的點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用反證法，假設存在x0′，x0 ∈（a，b），考察得出函數f′（x）是[a，b]上的單調遞增函數，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的單調減函數，得出

BA

•

BC

＜0，cosB＜0，∠B為鈍角，△ABC為鈍角三角形．

解答：解：（1）證明：假設存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)
∴

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)
∴f′（x）=

ex

1+ex

-1=-

1

1+ex

，記g（x）=f′（x）=-

1

1+ex

，則g′（x）=

ex

(1+ex)2

＞0，f′（x）是[a，b]上的單調遞增函數，
∴所以x0′=x0 ，與x0′≠x0 矛盾，所以x₀是唯一的．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x ₃
∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0，∴f（x）是R上的單調減函數．∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0
∴cosB＜0，∠B為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形．

點評：本題考查了函數單調性的應用，向量坐標運算及幾何意義，反證法的解題思想．綜合性強，值得體會．