Question

求半徑為R的球的內接圓柱的體積的最大值，且求出圓柱體積最大時的底面半徑．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，為求出圓柱體積最大時的底面半徑，我們可以設圓柱體的底面半徑為r，進而根據截面圓半徑、球半徑、球心距滿足勾股定理，我們可以用R與r表示出圓柱的高，進而得到其體積的表達式，然后結合基本不等式，即可得到圓柱體積最大時的底面半徑的值．

解答：解：設圓柱體的底面半徑為r，
則球心到底面的高（即圓柱高的一半）為d，
則d=

R2-r2

，
則圓柱的高為h=2

R2-r2

則圓柱的體積V=πr²h≤

1

2

π（r²+h）
當且僅當r²=h時V取最大值
即r²=2

R2-r2

即r=

2( 1+R2 -1)

時，
圓柱體積取最大值．

點評：若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，即R²=r²+d²