Question

（本題滿分10分）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線 的距離小．
（1）求曲線的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)在直線 上，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為、．
（ⅰ）求證：直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形（點(diǎn)也在直線上）？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

．解:（1） 曲線的方程         --------------3分
（2）（ⅰ）設(shè)，
整理得：
同理可得：
 
又

    --------------------------6分
（ⅱ）由（ⅰ）知中點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則的中垂線方程為
的中垂線與直線的交點(diǎn)


若為等邊三角形，則

解得此時(shí),
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不存在滿足條件的點(diǎn)
綜上可得：滿足條件的點(diǎn)存在，坐標(biāo)為.----------------------10分

解析