Question

【題目】橢圓規是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.

（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的普通方程；

（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數列時，求直線l2的普通方程.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）用三角函數表示出點M的坐標，直接利用轉換關系把極坐標方程轉換為直角坐標方程；（2）設出直線l1的參數方程，與橢圓方程聯立利用直線參數的幾何意義求出、，根據題意有，列出方程求出直線l1的斜率即可求得直線l2的方程.

（1）設M（x，y）依題意得：x＝2cosφ，y＝sinφ，

所以M（2cosφ，sinφ），

由于cos2φ+sin2φ＝1，整理得.

（2）由于直線l1的傾斜角為α（），且l1⊥l2，

所以直線l2的傾斜角為，依題意易知：F（），

可設直線l1的方程為（t為參數），

代入得到：，

易知，

設點D和點E對應的參數為t1和t2，

所以，.

則，

由參數的幾何意義：，

設G、H對應的參數為t3和t4，同理對于直線l2，將α換為，

所以，

由于，|GH|，依次成等差數列，

所以，則，解得，

所以，又，所以，

所以直線l2的斜率為，直線l2的直角坐標方程為x.