Question

函數(shù)f(x)=

1，x為有理數(shù) π，x為無理數(shù)

，下列結(jié)論不正確的（　　）

• A、此函數(shù)為偶函數(shù)
• B、此函數(shù)是周期函數(shù)
• C、此函數(shù)既有最大值也有最小值
• D、方程f[f（x）]=1的解為x=1

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別利用函數(shù)奇偶性，周期性和函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答：解：A．若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，∴f（-x）=f（x）=1，
若x為無理數(shù)，則-x也無有理數(shù)，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．∴A正確．
B．設(shè)T為一個正數(shù)．當(dāng)T為無理數(shù)時，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
當(dāng)T為有理數(shù)時，若x為有理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是有理數(shù)，有f（x+T）=f（x），
若x為無理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是無理數(shù)，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數(shù)都是f（x）的周期．此命題也是對的．
C．由分段 函數(shù)的表達(dá)式可知，當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1，當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=π，
∴函數(shù)的最大值為π，最小值為1，∴C正確．
D．當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時方程成立．
當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯誤．
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和周期性，單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．