Question

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將轉化為進而可求得F的坐標得到c的值，再由a+c=可求出a的值，進而可得b的值，確定橢圓方程．
（2）先根據x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點確定r的范圍，再由（m，n）在橢圓C上可得到和m的范圍，圓心O到直線l₁的距離和圓心O到直線l₂的距離可判斷直線l₁與l₂與圓O的關系．
解答：解：（1），
解得．
設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，
則由題設，知于是a=2，b²=1．
所以橢圓C的方程為
（2）因為圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，
所以b＜r＜a，即1＜r＜2．
因為點（m，n）是橢圓上的點，
所以．
所以．
于是圓心O到直線l₁的距離，
圓心O到直線l₂的距離．
故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與圓的位置關系．