Question

已知橢圓C：的離心率等于，點(diǎn)P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線：，使得與的交點(diǎn)總在直線上？若存在，求出一個(gè)滿足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

試題分析：（1）由，點(diǎn)代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出；（2）以的存在性分兩種情況：①不存在，直線:,易證符合題意；②存在時(shí)，設(shè)直線:，用直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達(dá)定理得，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021259034549.png" style="vertical-align:middle;" />共線，有，由得，得出，由于成立，所以點(diǎn)在直線上，綜上:存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是.
試題解析：（1）由，               2分
又點(diǎn)在橢圓上，，              4分
所以橢圓方程是：；                       5分
（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，，則的方程是：，
的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測(cè):存在常數(shù),
即直線的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線上,         6分
證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，                  7分
從而：，                 8分
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021259861782.png" style="vertical-align:middle;" />，共線
所以：，，                  9分
又，
要證明共線，即要證明，            10分
即證明：，
即：，
即：
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240213001111754.png" style="vertical-align:middle;" />成立，       12分
所以點(diǎn)在直線上。
綜上:存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上,的值是.  13分