Question

(本小題滿分14分)

已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前n項和．

（1）求、和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即       ……………………………………2分

解得，，                        ………………………………………3分

．

，

．        ……………………5分

（法二）是等差數列，

．                …………………………2分

由，得 ，                        

又，，則．               ………………………3分

(求法同法一)

（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………6分

 ，等號在時取得．           

此時 需滿足．                …………………………………………7分

②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．        …………………………………8分

 是隨的增大而增大， 時取得最小值．

此時 需滿足．                …………………………………………9分

綜合①、②可得的取值范圍是．   …………………………………………10分

（3），

 若成等比數列，則，即．…11分

（法一）由，　　可得，

即，   　　　                …………………………………12分

．                     ……………………………………13分

又，且，所以，此時．

因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列．…………14分

（法二）因為，故，即，

，（以下同上）．    …………………………………………13分

【說明】考查了等差數列、等比數列的概念及其性質，以及數列的求和、利用均值不等式求最值等知識；考查了學生的函數思想方法，及其推理論證和探究的能力．