Question

數列、的每一項都是正數,,,且、、成等差數列,、、成等比數列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求數列、的通項公式；
（Ⅲ）記，證明：對一切正整數，有.

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案詳見解析.

試題分析：(Ⅰ)依題意，，，并結合已知，，利用賦值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且，則，（），代入①中，得關于的遞推公式，故可判斷數列是等差數列，從而可求出，代入（）中，求出（），再檢驗時，是否滿足，從而求出；（Ⅲ）和式表示數列的前項和，故先求通項公式，再選擇相應的求和方法求和，再證明和小于.
試題解析：(Ⅰ)由，可得.由，可得.
（Ⅱ）因為、、成等差數列，所以…①.因為、、成等比數列，所以，因為數列、的每一項都是正數，所以…②.于是當時…③.  將②、③代入①式，可得，因此數列是首項為4，公差為2的等差數列，
所以，于是.   則.
當時，，滿足該式子，所以對一切正整數，都有.
（Ⅲ）方法一:，所以.
于是
.
方法二:.
于是
.