Question

【題目】設 ，且 ，求證：a3+b3>a2b+ab2 .(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) )

Answer 1

【答案】【解答】解：方法一(分析法)：
要證 a3+b3>a2b+ab2 成立，
即需證(a+b)(a2-ab+b2) >ab(a+b) 成立.
又因 a+b>0 ，
故只需證a2-ab+b2>ab 成立，
即需證 a2-ab+b2>0 成立，
即需證 (a-b)2>0 成立.
而依題設 ，則 (a-b)2>0 顯然成立.
由此命題得證.
方法二(綜合法)：
.
注意到 ， a+b>0 ，由上式即得
(a+b)(a2-ab+b2) >ab(a+b) .
所以 a3+b3>a2b+ab2 .
【解析】本題主要考查了分析法與綜合法，解決問題的關鍵是根據分析法、綜合法結合所學基本不等式進行分析證明即可.