Question

已知f（x）=ln（x+1）-ln（1-x），x∈（-1，1），現有下列命題：
①f（-x）=-f（x）；②f(

2x

1+x2

)=2f(x)；③f（x）在（-1，1）上是增函數，
其中正確命題的序號是（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）推導命題①②③，從而確定命題的真假．

解答： 解：f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）
=-（ln（x+1）-ln（1-x））=-f（x）；
故①成立；
f（

2x

1+x2

）=ln（

2x

1+x2

+1）-ln（1-

2x

1+x2

）
=2ln（|x+1|）-2ln（|1-x|）
=2（ln（|x+1|）-ln（|1-x|））≠2f（x）；
故②不成立；
f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）
=ln

1+x

1-x

=ln（-1+

2

1-x

），
∵y=-1+

2

1-x

在（-1，1）上是增函數，
故f（x）在（-1，1）上是增函數．
故③正確；
故選C．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與證明，屬于基礎題．