Question

數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上，
（1）若數列{a_n+c}成等比數列，求常數c的值；
（2）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．
（3）若b_n=

1

3

an+1，請求出一個滿足條件的指數函數g（x），使得對于任意的正整數n恒有

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

＜

1

3

成立，并加以證明．（其中∑為連加號，如：

n

i-1

an=a1+a2+…+an）

Answer 1

分析：（1）由“點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通項和前n項和關系可得a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比數列的定義，從而求出c的值．
（2）由（1）根據等比數列通項公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3，先假設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列根據等差中項有2a_p=a_s+a_r，再用通項公式展開整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因為s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1為偶數，1+2^r-s為奇數，奇數與偶數不會相等的．所以不存在．
（3）根據題意先求出

1

(bk+1)(bk+1+1)

的表達式，然后令g（x）=2^x即可得出結論成立．

解答：解：（1）由題意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴

an+1+3

an+3

，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴數列{a_n+3}成以6為首項以2為公比的等比數列，
∴c=3．
（2）由（1）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
設存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1為偶數，1+2^r-s為奇數
∴（*）為矛盾等式，不成立故這樣的三項不存在（12分）
（3）bn=

1

3

an+1=2ⁿ，∴

1

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）（11分）
令g（k）=2^k，則有

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

，
∴

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

n

k=1

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）
=（

1

2+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

（13分）
即指數函數g（x）=2^x，滿足條件．

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了通項與前n項和的關系，構造等比數列，求通項，等差中項及數域問題．