Question

．已知，函數．
（1）若函數在區間內是減函數，求實數的取值范圍；
（2）求函數在區間上的最小值；
（3）對（2）中的，若關于的方程有兩個不相等的實數解，
求實數的取值范圍．

Answer 1

解：∵，∴.………………………1分
∵函數在區間內是減函數，∴在上恒成立．…………2分
即在上恒成立，……………………………………………………3分
，∴．
故實數的取值范圍為．………………………………………………4分
（2）解：∵，令得．………………5分
①若，則當時，，所以在區間上是增函數，
所以．………………………………………………6分
②若，即，則當時，，所以在區間上是增函數，
所以．……………………………………………7分
③若，即，則當時，；當時，．
所以在區間上是減函數，在區間上是增函數．
所以．………………………………………8分
④若，即，則當時，，所以在區間上是減函數．
所以．……………………………………………9分
綜上所述，函數在區間的最小值……………10分
（3）解：由題意有兩個不相等的實數解，
即（2）中函數的圖像與直線有兩個
不同的交點．…………………………………………………………11分
而直線恒過定點，
由右圖知實數的取值范圍是．…………………………14分

解析