Question

【題目】已知函數（為實數常數）

（1）當時，求函數在上的單調區間；

（2）當時，成立，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 單調遞增區間是，單調遞減區間是．(2)證明見解析

【解析】

（1）先求出函數的導函數，再解不等式與，從而求出函數的單調區間；

（2）當時，由等價于恒成立，再分別討論：①當時，②當時，③當時，利用導數研究函數的單調性及最值從而得解.

解：（1）因為，所以，

當時，由得，解得，

由得，解得，

所以函數在的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（2）當時，由得

即恒成立（*），

設，則，由題可知

①當時，，所以在上單調遞增，

，可知且時，，使得，可知（*）式不成立，則不符合條件；

②當時，，所以在上單調遞減，

，可知（*）式成立，則符合條件，所以成立；

③當時，由得，由得，

所以在上單調遞增，可知在上單調遞減，

所以，由（*）式得，

設，則，所以在上單調遞減，

而，，可知．

綜上所述，．