Question

（2012•南寧模擬）已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令

1

bn

=an2-1(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁及公差d，將a₃，a₅，a₇，用a₁及d來表示，列出方程組，可解出a₁及d，再由通項公式及前n項公式求出a_n及S_n；
（2）將a_n代入所給表達式可求出b_n的表達式，用裂項求和可求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
所以T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

即數(shù)列{b_n}的前項和Tn=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵．