Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

Answer 1

（1）＝1.（2）見(jiàn)解析

(1)解：由題意知b＝＝.
因?yàn)殡x心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x₀，y₀)，(－x₀，y₀)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①
直線QN的方程為y＝x＋2.②
(證法1)聯(lián)立①②解得x＝，y＝，即T.
由＝1可得＝8－4.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240417032582047.png" style="vertical-align:middle;" />
＝＝1，所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．
(證法2)設(shè)T(x，y)．聯(lián)立①②解得x₀＝，y₀＝.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041703211742.png" style="vertical-align:middle;" />＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)²，所以－12y＋8＝4y²－12y＋9，即＝1.
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．