Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）如果對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（III）設(shè)函數(shù)， ，過點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為

（2）（3）

【解析】

試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0求其增區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)小于0求其減區(qū)間;
(2)構(gòu)造輔助函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化為求時

,然后對k的值進(jìn)行分類討論,求k在不同取值范圍內(nèi)時的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范圍;
(3)把的解析式代入 ,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),由點(diǎn)斜式寫出切線方程,把M的坐標(biāo)代入切線方程,得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的三角方程,利用函數(shù)圖象交點(diǎn)分析得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于對稱成對出現(xiàn),最后由給出的自變量的范圍得到數(shù)列的所有項之和S的值.

試題分析：⑴

的增區(qū)間為 ；減區(qū)間為 .

⑵令,要使恒成立，只需當(dāng)時，

,令，則對恒成立

在上是增函數(shù)，則

①當(dāng)時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足題意；

②當(dāng)時，在上有實根, 在上是增函數(shù)

則當(dāng)時，，不符合題意；

③當(dāng)時，恒成立，在上為減函數(shù)，

不符合題意

，即.

⑶

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為

從而切線方程為

令，，這兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對稱，則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列的項也關(guān)于成對出現(xiàn)，又在共有1008對，每對和為.

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