Question

已知函數，且函數f（x）的最小正周期為π．
（1）若，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，把所得到的圖象再向左平移個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的降次公式進行化簡，得f（x）=2sin（2ωx+），根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，計算出ω的值，得到函數的表達式，最后根據函數函數y=Asin（ωx+φ）的單調區間的結論，可以求得函數f（x）的單調遞減區間；
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律，得到變換后函數y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+），然后根據函數y=Asin（ωx+φ）的單調性的結論，可得函數g（x）在區間上的值域，從而得到y=g（x）在區間上的最小值．
解答：解：（1）∵
∴利用三角函數的降次公式，得f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+）
∵函數f（x）的最小正周期為T==π
∴2ω=2，可得函數f（x）的解析式為：y=2sin（2x+）
令＜2x+＜，得+kπ＜x＜+kπ，其中k是整數，
∵，
∴取k=0，得x∈
所以函數f（x）的單調遞減區間是；
（2）函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，
所得函數解析式為：y=2sin（4x+）
再把所得到的圖象再向左平移個單位，得到函數y=g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin[4（x+）+]=2sin（4x+）
∵函數y=g（x）定義在區間上，
∴4x+∈[，]⇒sin≤sin（4x+）≤sin
即-≤sin（4x+）≤
∴函數y=g（x）的值域為[-，1]，函數的最小值為-．
點評：本題以一個特殊的三角函數為例加以研究，著重考查了三角函數中的恒等變換、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質和三角函數的最值等知識點，屬于中檔題．