Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側棱長為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是側棱CC₁上一點，且BD與底面所成角為30°．
（1）求點D到AB所在直線的距離．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度數．

Answer 1

解：（1）∵BD在底面的射影為BC
∴∠DBC即為BD與底面所成角則∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AB⊥側面BC₁，而BD?側面BC₁，
∴AB⊥BD即BD為點D到AB所在直線的距離
在直角三角形BDC中，BD=2
∴點D到AB所在直線的距離為2
（2）過B₁作BD的垂線角BD與E，連接A₁E，B₁E
∵A₁B₁⊥側面BC₁，
∴∠A₁EB₁為二面角A₁-BD-B₁的平面角
在直角三角形A₁B₁E中，A₁B₁=1，B₁E=
∴tan∠A₁EB₁=
∴∠A₁EB₁=30°
即二面角A₁-BD-B₁的度數為30°
分析：（1）根據線面垂直的性質可知AB⊥BD即BD為點D到AB所在直線的距離，再根據線面所成角的定義可知∠DBC即為BD與底面所成角，可求出BD，即可求得所求；
（2）過B₁作BD的垂線角BD與E，連接A₁E，B₁E，根據二面角平面角的定義可知∠A₁EB₁為二面角A₁-BD-B₁的平面角，在直角三角形A₁B₁E中，求出此角即可．
點評：本題主要考查了點到平面的距離，以及二面角的度量等有關知識，同時考查了空間想象能力、推理論證的能力，和轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．