Question

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為，的中點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）

試題分析：本題主要考查線面位置關系的證明、二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和計算能力.第一問，法一：利用E、F為PC、OC中點，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因為PO為等腰三角形底邊上的高，所以，由于AD是面ABCD與面PAD的交線，所以平面，又因為，所以平面，所以EF垂直面內的線AB，在中根據已知的邊長可知，所以利用線面垂直的判定得平面，從而得；第二問，作出輔助線HE，AE，利用線面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面內的線PC，在等腰三角形APC中，，利用線面垂直得平面AHE，則，得出為二面角的平面角，在三角形內解出的正弦值，再求；法二：第一問，要證明，只需證明，根據已知條件找出垂直關系，建立空間直角坐標系，根據邊長寫出各個點坐標，計算出向量和的坐標，再計算數量積；第二問，利用第一問建立的空間直角坐標系，先計算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夾角公式直接求夾角的余弦值.
試題解析：解法一：（1）設，連接,
分別是、的中點，則，…1分
已知平面，平面，所以平面平面，
又，為的中點，則，
而平面平面，
所以平面，
所以平面，
又平面，所以；     3分
在中，，；
又，所以平面，
又平面，所以.           6分
（2）在平面內過點作交的延長線于，連接，，
因為平面，所以平面平面，
平面平面，所以平面，
平面，所以；
在中，，是中點，故；
所以平面，則．
所以是二面角的平面角．  10分
設，
而，
，則，
所以二面角的余弦值為．                          12分
解法二：
因為平面，平面，所以平面平面，
又，是的中點，則，且平面平面，
所以平面．                2分
如圖，以O為原點，以分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.

 4分
，，所以．  6分
（2），，
設平面的法向量為，
則
令，得．     8分
又，，
所以平面的法向量，              10分
，
所以二面角的余弦值為．              12分