【題目】橢圓
與
的中心在原點，焦點分別在
軸與
軸上，它們有相同的離心率
，并且的短軸為的長軸，與的四個焦點構成的四邊形面積是
.
(1)求橢圓與的方程；
(2)設
是橢圓上非頂點的動點，與橢圓長軸兩個頂點
，
的連線
，
分別與橢圓交于
，
點.
(i)求證：直線，斜率之積為常數；
(ii)直線
與直線
的斜率之積是否為常數？若是，求出該值；若不是，說明理由.
【答案】(1)
，
.(2)(i) 見解析(ii)
.
【解析】
試題（1）橢圓離心率
，又
，所以
，設
，則根據題中條件可設
，于是根據橢圓的對稱性可知，四個焦點構成的四邊形為菱形，面積
，解得
，可以得到橢圓
，
；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點、定值問題，分析題意，設
，而
，
，所以
，
，于是
，又因為
，代入上式易求
；(ii)根據(i)問，可先證明
為定值，再證明
為定值，于是可以得到
為定值，由于
，
，所以可以得
為定值.
試題解析：(1)依題意
，設，，由對稱性，四個焦點構成的四邊形為菱形，且面積，解得：.
所以橢圓，.
(2)(i)設，則，，.
，.
所以：
.
直線
，
斜率之積為常數
.
(ii)設
，則
.
，
，
所以：
，同理：
，
所以：
，由，，結合(i)有
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
，圓
，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求
的極坐標方程；
（2）若直線
的極坐標方程為
，設
的交點為A，B，求
的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，且經過點
，
，
，
，
為橢圓的四個頂點（如圖），直線
過右頂點且垂直于
軸．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）
為上一點（軸上方），直線
，
分別交橢圓于
，
兩點，若
，求點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知O為坐標原點，拋物線C：y2=8x上一點A到焦點F的距離為6，若點P為拋物線C準線上的動點，則|OP|+|AP|的最小值為（ ）
A. 4B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，將曲線經過伸縮變換
后得到曲線
.在以原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；
（2）已知點
是曲線上的任意一點，又直線上有兩點
和
，且
，又點的極角為
，點的極角為銳角.求：
①點的極角；
②
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖空間幾何體
中，
與
，
均為邊長為
的等邊三角形，平面
平面
，平面
平面
．
（1）試在平面內作一條直線，使得直線上任意一點
與
的連線
均與平面平行，并給出詳細證明；
（2）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
與拋物線
在第一象限的交點為
，橢圓
的左、右焦點分別為
，其中
也是拋物線
的焦點，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線
（不與
軸重合）交橢圓于
兩點，點
為橢圓的左頂點，直線
分別交直線
于點
，求證：
為定值.
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