Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣2；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 且滿足b1=1，b2=2， ．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得 恰為數(shù)列{bn}中的一項(xiàng)？若存在，求所有滿足要求的bn；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2，則當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1，則an=2an﹣1，

由S1=2a1﹣2，則a1=2，

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an=2n，

由 ．

則 = ， = ， = ，， = ． =

以上各式相乘， = ，則2Tn=bnbn+1，

當(dāng)n≥2時(shí)，2Tn﹣1=bn﹣1bn，兩式相減得：2bn=bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1=2，

∴數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，

由 = ，則b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，

∴數(shù)列{bn}是以b1=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=n；

（2）當(dāng)n=1時(shí)， 無意義，

設(shè)cn= = ，（n≥2，n∈N*），

則cn+1﹣cn= ﹣ = ＜0，

即cn＞cn+1＞1，

顯然2n+n+1＞2n﹣（n+1），則c2=7＞c3=3＞c4＞＞1，

∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，

下面證明不存在c2=2，否則，cn= =2，即2n=3（n+1），

此時(shí)右邊為3的倍數(shù)，而2n不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，

綜上，滿足要求的bn為b3，b7．

【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，由an=Sn-Sn-1可得an=2an﹣2an﹣1，則數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an=2n由=,使用累乘法可得到2Tn=bnbn+1，由bn=Tn-Tn-1可得bn+1﹣bn﹣1=2，數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=n，（2）設(shè)cn= ,作差比較大小，cn＞cn+1＞1，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可求得存在存在n=2，使得b7=c2，b3=c3.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．