Question

給出以下四個命題：
①若cosαcosβ=1，則sin（α+β）=0；
②已知直線x=m與函數f(x)=sinx，g(x)=sin(

π

2

-x)的圖象分別交于點M，N，則|MN|的最大值為

2

；
③若數列a_n=n²+λn（n∈N₊）為單調遞增數列，則λ取值范圍是λ＜-2；
④已知數列a_n的通項an=

3

2n-11

，其前n項和為S_n，則使S_n＞0的n的最小值為12．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①若cosαcosβ=1，可知，α、β兩角的同時在x軸正半軸或者在負半軸上，有此則可得sin（α+β）=0；
②已知直線x=m與函數f(x)=sinx，g(x)=sin(

π

2

-x)的圖象分別交于點M，N，則|MN|的最大值為

2

，f（x）-g（x）的最大值即為|MN|的最大值，驗證即可；
③若數列a_n=n²+λn（n∈N₊）為單調遞增數列，則λ取值范圍是λ＜-2，由二次函數的性質及數列的離散性特征轉化出參數所滿足的不等式即可；
④已知數列a_n的通項an=

3

2n-11

，其前n項和為S_n，則使S_n＞0的n的最小值為12，研究數列的前11項的值即可得出結論．

解答：解：①若cosαcosβ=1，則α、β兩角的同時在x軸正半軸或者在負半軸上，故sin（α+β）=0，此命題正確；
②已知直線x=m與函數f(x)=sinx，g(x)=sin(

π

2

-x)的圖象分別交于點M，N，則|MN|的最大值為

2

，由于|MN|=|f（x）-g（x）|=|sinx-cosx|=|

2

sin（x-

π

4

）|≤

2

，此命題正確；
③若數列a_n=n²+λn（n∈N₊）為單調遞增數列，則λ取值范圍是λ＜-2，由二次函數的性質及數列的特征得-

λ

2

＜

3

2

，即λ＞-3，故此命題不對；
④已知數列a_n的通項an=

3

2n-11

，其前n項和為S_n，則使S_n＞0的n的最小值為12，數列前十一項的值分別為-

1

3

，-

3

7

，-

3

5

，- 1，-3，3，1，

3

5

，

3

7

 ，

1

3

，

3

11

，故S₁₁＞0，使S_n＞0的n的最小值為11，此命題錯誤．
故答案為①②

點評：本題考查數列與函數的關系，數列的最值，三角函數的最值等，涉及到的知識點較多，判斷較繁．