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已知f(x)是實數集R上的函數，且對任意x

R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求證：f(x)是周期函數.
(2)已知f(3)=2，求f(2 004).

（1）證明見解析（2）-2

（1）證明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
則f(x+2)=f

∴f(x+3)=f

∴f(x+6)=f

∴f(x)是周期函數且6是它的一個周期.
(2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

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相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）某電信部門執行的新的電話收費標準中，其中本地網營業區內的通話費標準：前3分鐘為0.20元（不足3分鐘按3分鐘計算），以后的每分鐘收0.10元（不足1分鐘按1分鐘計算。）在一次實習作業中，某同學調查了A、B、C、D、E五人某天撥打的本地網營業區內的電話通話時間情況，其原始數據如下表所示：

	A	B	C	D	E
第一次通話時間	3分	3分45秒	3分55秒	3分20秒	6分
第二次通話時間	0分	4分	3分40秒	4分50秒	0分
第三次通話時間	0分	0分	5分	2分	0分
應繳話費（元）

⑴在上表中填寫出各人應繳的話費；
⑵設通話時間為t分鐘，試根據上表完成下表的填寫（即這五人在這一天內的通話情況統計表）：

時間段	頻數累計	頻數	頻率	累計頻率
0<t≤3	┯	2	0.2	0.2
3<t≤4
4<t≤5
5<t≤6
合計	正正

⑶若該本地網營業區原來執行的電話收費標準是：每3分鐘為0.20元（不足3分鐘按3分鐘計算）。問這五人這天的實際平均通話費與原通話標準下算出的平均通話費相比，是增多了還是減少了？增或減了多少？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）定義在R上的函數

，

，當

時，

，且
對任意的∈R，有

.
（1）求證：

；
（2）求證：

是R上的增函數；
（3）若

，求

的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數

滿足

；
（1）求常數k的值；（2）若

恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

定義在區間(－∞,+∞)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間［0，+∞)的圖像與f(x)的圖像重合，設a>b>0,給出下列不等式:
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) 　　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) 　　④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)
其中成立的是( )

A．①與④

B．②與③

C．①與③

D．②與④

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

具有性質“對任意x，y∈R，滿足f（x+y）=f（x）+f（y）”的函數f（x）是（　　）

A．f（x）=πx

B．f（x）=log_0.6x

C．f（x）=5^x

D．f（x）=cosx

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知定義域是（0，+∞）的函數f（x）滿足；
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
（2）當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出下列結論：
①對任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=0；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3^k，3^k+1）．”
其中正確結論的序號是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數