Question

某企業為擴大生產規模，今年年初新購置了一條高性能的生產線，該生產線在使用過程中的設備維修、燃料和動力等消耗的費用（稱為設備的低劣化值）會逐年增加，第一年設備低劣化值是4萬元，從第二年到第七年，每年設備低劣化值均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年設備低劣化值比上年增加25%．
（1）設第n年該生產線設備低劣化值為a_n，求a_n的表達式；
（2）若該生產線前n年設備低劣化平均值為A_n，當A_n達到或超過12萬元時，則當年需要更新生產線，試判斷第幾年需要更新該生產線，并說明理由．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,等差數列與等比數列

分析：（I）當n≤7時，數列{a_n}是首項為4，公差為2的等差數列；當n≥8時，數列{a_n}是首項為a₇，公比為

5

4

的等比數列，故可求n年該生產線設備低劣化值為a_n的表達式；
（2）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差及等比數列的求和公式得S_n，該生產線前n年設備低劣化平均值為A_n為增數列，從而可求第9年初需要更新該生產線．

解答： 解：（1）當n≤7時，數列{a_n}是首項為4，公差為2的等差數列，a_n=4+2（n-1）=2n+2；
當n≥8時，數列{a_n}是首項為a₇，公比為

5

4

的等比數列，又a₇=16，∴a_n=16×（

5

4

）^n-7
∴a_n的表達式為a_n=

2n+2，n≤7 16×( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差及等比數列的求和公式得
當1≤n≤7時，S_n=4n+n（n-1）=n²+3n…（8分）
當n≥8時，由S₇=70，S_n=S₇+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×（

5

4

）^n-7-10．
A_n=

Sn

n

，當1≤n≤7時，{A_n}為增數列，
當n≥8時，∵A_n+1-A_n=

80•( 5 4 )n-7•( n 4 -1)+10

n(n+1)

＞0，{A_n}也為增數列，
又∵A₇=10＜12，A₈=11.25＜12，A₉≈12.78＞12，
則第9年初需要更新該生產線．

點評：本題以實際問題為載體，考查數列模型的構建，考查數列的通項及求和公式的運用，解題的關鍵是構建等差數列、等比數列模型．