Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)可直接得，根據(jù)△是等腰直角三角形可得，進(jìn)而由橢圓方程中的關(guān)系即可得橢圓方程；

（2）分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立橢圓后，設(shè)，，由韋達(dá)定理表示出，根據(jù)斜率關(guān)系，整理可得與的等量關(guān)系，代入直線方程即可確定直線AB過(guò)定點(diǎn).當(dāng)斜率不存在時(shí)，易證也過(guò)該定點(diǎn)即可.

（1）由已知可得，

是等腰直角三角形可得，

由，

則所求橢圓方程為.

（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意.

設(shè)，，

由得.

則.

由已知，

所以，即.

所以，整理得.

故直線的方程為，即.

所以直線過(guò)定點(diǎn).

若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，

設(shè)，，由已知，

得.此時(shí)方程為，顯然過(guò)點(diǎn).

綜上，直線過(guò)定點(diǎn).