Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ）求圓C的圓心坐標和圓C的半徑；
（Ⅱ）求證：直線l過定點；
（Ⅲ）判斷直線l被圓C截得的弦何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時m的值，以及最短長度．

Answer 1

分析：（I）將圓的方程化為標準方程，可得圓C的圓心坐標和圓C的半徑；
（Ⅱ）分離參數可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程組，可得結論；
（Ⅲ）直線l被圓C截得的弦最長時，圓心（1，2）在直線l上，圓C截得的弦為直徑；當圓心C（1，2）與A（3，1）的連線與l垂直時，直線l被圓C截得的弦最短，由此可得結論．

解答：（I）解：圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，可變為：（x-1）²+（y-2）²=5²，
由此可知圓C的圓心C坐標為（1，2），半徑為5．
（Ⅱ）證明：由直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0
對于任意實數m，要使上式成立，必須

2x+y-7=0 x+y-4=0.

解得：

x=3 y=1.

…（6分）
所以直線l過定點A（3，1）．
（Ⅲ）解：直線l被圓C截得的弦最長時，圓心（1，2）在直線l上，圓C截得的弦為直徑；當圓心C（1，2）與A（3，1）的連線與l垂直時，直線l被圓C截得的弦最短
此時(-

1

2

)×(-

2m+1

m+1

)=-1，∴m=-

3

4

∵CA=

5

，圓的半徑為5，
∴直線l被圓C截得的弦最短弦長為2

25-5

=4

5

．

點評：本題考查圓的方程，考查直線恒過定點，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力．