Question

已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1＝5，a2＝6，a3＝8，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m)2，其中m，n為任意正整數(shù)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

(2)求滿足－an＋33＝k2的所有正整數(shù)k，n.

 

Answer 1

（1）Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*（2）n＝10，k＝131.

【解析】(1)在等式Sm＋n＝(S2n＋S2m)－(n－m)2中，分別令m＝1，m＝2，得

Sn＋1＝(S2n＋S2)－(n－1)2，①

Sn＋2＝ (S2n＋S4)－(n－2)2，②

②－①，得an＋2＝2n－3＋.(3分)

在等式Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m2)中，令n＝1，m＝2，得S3＝(S2＋S4)－1，由題設(shè)知，S2＝11，S3＝19，故S4＝29.

所以an＋2＝2n＋6(n∈N*)，即an＝2n＋2(n≥3，n∈N*)．

又a2＝6也適合上式，故an＝ (5分)

Sn＝即Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*.(6分)

(2)記－an＋33＝k2(*)．

n＝1時(shí)，無正整數(shù)k滿足等式(*)．

n≥2時(shí)，等式(*)即為(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.(8分)

①當(dāng)n＝10時(shí)，k＝131.(9分)

②當(dāng)n＞10時(shí)，則k＜n2＋3n＋1，

又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.

從而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.

又因?yàn)?/span>n，k∈N*，所以k不存在，從而無正整數(shù)k滿足等式(*)．(12分)

③當(dāng)n＜10時(shí)，則k＞n2＋3n＋1，因?yàn)?/span>k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.

從而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.

即2n2＋9n－27≤0.因?yàn)?/span>n∈N*，所以n＝1或2.(14分)

n＝1時(shí)，k2＝52，無正整數(shù)解；

n＝2時(shí)，k2＝145，無正整數(shù)解．

綜上所述，滿足等式(*)的n，k分別為n＝10，k＝131.(16分)