Question

如圖，橢圓的中心在坐標原點，長軸端點為A、B，右焦點為F，且

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點F作直線l₁，l₂，直線l₁與橢圓分別交于點M、N，直線l₂與橢圓分別交于點P、Q，且|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2，求四邊形MPNQ的面積S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程，利用

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）利用|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2，確定l₁⊥l₂． 再分類討論，分別計算四邊形MPNQ的面積，利用基本不等式，可確定四邊形形MPNQ的面積S的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則由題意知c=1，
又∵

AF

•

FB

=1
∴（a+c）（a-c）=1=a²-c²
∴a²=2
∴b²=a²-c²=1，
故橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）．
則由題意：|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2
整理得：（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0．
所以l₁⊥l₂． 
①若直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，不妨設(shè)l₂的斜率不存在，則可得l₂⊥x軸，
∴|MN|=2

2

，|PQ|=

2

，
故四邊形MPNQ的面積S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×2

2

×

2

=2．
②若直線l₁，l₂的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程：y=k（x-1）（k≠0），則
代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

．
∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-2 2k2+1

=

2 2 (1+k2)

2k2+1

同理可求得，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

．
故四邊形MPNQ的面積：S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×

2 2 (1+k2)

2k2+1

×

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+ 1 k2 +2

≥

16

9

當且僅當k=±1時，取“=”．
綜上，四邊形形MPNQ的面積S的最小值為

16

9

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．