Question

設f（x）=x³-ax²-bx-c，x∈[-1，1]，記y=|f（x）|的最大值為M．
（Ⅰ）當a=c=0，b=

3

4

時，求M的值；
（Ⅱ）當a，b，c取遍所有實數(shù)時，求M的最小值．
（以下結論可供參考：對于a，b，c，d∈R，有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|，當且僅當a，b，c，d同號時取等號）

Answer 1

分析：（I）先求導，得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，從而得出y=|f（x）|的最大值為：M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

．
（II）由于4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，且M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|利用絕對值不等式建立不等關系式，得出M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．最后結合（1）可知M的最小值．

解答：解：（I）求導可得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，
M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

，當x=±1，±

1

2

時取等號．
（II）∵4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，
∵M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|
∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(

1

2

)|+8|f(-

1

2

)|≥|4f(1)-4f(-1)-8f(

1

2

)+8f(-

1

2

)|=6
因此，M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．
由（1）可知，當a=0，b=

3

4

，c=0時，M=

1

4

．∴f(x)min=

1

4

．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、絕對值不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．