Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”．某地有三個新建居民區，分別位于平面xOy內三點A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）處．現計劃在x軸上方區域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心．

（1）寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；
（2）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區，請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設點P的坐標為（x，y），則

點P到居民區A的“L路徑”長度最小值為|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；

（2）

解：由題意知，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小值為點P到三個居民區的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值

①當y≥1時，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|

∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24

∴當且僅當x=3時，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值為24

∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21

∴當且僅當y=1時，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值為21

∴點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小，且最小值為45；

②當0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進入保護區，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|

此時d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21

由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時等號成立

綜上所述，在點P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．

【解析】（1）根據“L路徑”的定義，可得點P到居民區A的“L路徑”長度最小值；（2）由題意知，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小值為點P到三個居民區的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值，分類討論，利用絕對值的幾何意義，即可求得點P的坐標．