Question

若斜率為2的動直線l與拋物線x²=4y相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點．
（1）若線段AB上的點P滿足

AP

=

PB

，求動點P的軌跡方程；
（2）對于（1）中的點P，若點O關于點P的對稱點為Q，且|

OQ

|≤4

85

，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設l的方程為y=2x+b，l與C的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），點P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，由此能得到所求的軌跡方程．
（2）由x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，知|

OQ

|2=|

OA

+

OB

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=64+(16+2b)2≤16×85，由此能夠求出直線l在y軸上截距的取值范圍．

解答：解：（1）設l的方程為y=2x+b，l與C的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
點P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，
得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，依題意，

b＞-4 x= x1+x2 2 =4 y=2× x1+x2 2 +b=b+8＞4

故所求的軌跡方程為x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，
由|

OQ

|2=|

OA

+

OB

|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=64+(16+2b)2≤16×85，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10

點評：本題考查動點P的軌跡方程和直線l在y軸上截距的取值范圍．解題時要認真審題，合理地運用圓錐曲線的性質，注意靈活地進行等價轉化．