Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

4

n•(an+7)

（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

1

2

≤Tn＜1；
（3）是否存在常數c（c≠0），使得數列{

Sn

n+c

}為等差數列？若存在，試求出c；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由等差數列的性質，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯立，計算可得數列{a_n}的通項公式；
（2）根據題意，將數列{a_n}的通項公式代入b_n可得b_n的通項公式，進而運算消項求和法，計算T_n，可以得證；
（3）首先計算Sn，代入數列{

Sn

n+c

}，可得其通項公式，運用等差中項的性質分析，可得答案．

解答：（1）解：∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

?

a2•a3=45 a2+a3=14

?

a2=5 a3=9

?d=4?an=4n-3（4分）
（2）∵cn=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，（6分）
Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n
∴Tn≥T1=

1

2

故

1

2

≤Tn＜1（8分）
（3）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，cn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2c₂=c₁+c₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化簡得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令c=-

1

2

，即得c_n=2n，顯然數列{c_n}為等差數列，
∴當且僅當c=-

1

2

時，數列{c_n}為等差數列．（12分）

點評：本題考查等差數列的通項公式的運用，注意結合等差數列的性質分析，可以減少運算量，降低難度．