Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： =1（a＞1）的左、右頂點分別為A、B，P是橢圓C上任一點，且點P位于第一象限．直線PA交y軸于點Q，直線PB交y軸于點R．當點Q坐標為（0，1）時，點R坐標為（0，2）

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求證： 為定值；
（3）求證：過點R且與直線QB垂直的直線經過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得A（﹣a，0），B（a，0），

當點Q坐標為（0，1）時，點R坐標為（0，2），

即有kPA= ，直線PA：y= x+1，

kPB=﹣ ，直線PA：y=﹣ x+2，

解得交點P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

解得a= ，

則橢圓C的標準方程為 =1

（2）證明：設Q（0，s），R（0，t），

由橢圓的方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），

即有直線PA：y= x+s，直線PB的方程為y=﹣ x+t，

解得交點P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

化簡可得st=2，

即有 =st=2為定值；

（3）證明：由（2）可得st=2，即t= ，

直線QB的斜率為k=﹣ ，

即有過點R且與直線QB垂直的直線方程為y= x+t，

即為y= ，令x=﹣ ，可得y=0，

則過點R且與直線QB垂直的直線經過定點，坐標為（﹣ ，0）

【解析】（1）求得A，B的坐標，直線PA，PB的方程，求交點P，代入橢圓方程，解方程，可得a，進而得到橢圓方程；（2）設Q（0，s），R（0，t），求得直線PA，PB的方程，求交點P，代入橢圓方程，化簡整理可得st=2，再由向量的數量積的坐標表示可得定值；（3）求得QB的斜率，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求得垂線的方程，由st=2，代入，結合直線恒過定點的求法，可得定點．