Question

【題目】已知長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；

（1）求出異面直線AC'和BD所成角的余弦值；
（2）找出AC'與平面D'DBB'的交點，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如圖所示空間直角坐標系，

∵AB=4，AD=3，AA'=2；

∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）

則： =（4，3，2）， =（﹣4，3，0）

異面直線AC'和BD所成角的余弦值為： = =

（2）解：連接BD'，DB'交于點O，則點O即為AC'與平面D'DBB'的交點，

根據長方體的幾何特征可得：

O為長方體ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，

AC'為長方體ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直徑，

故O為AC'中點，

又由BD'，DB'交于點O，故O在平面D'DBB'上，

故O即為AC'與平面D'DBB'的交點

【解析】（1）建立空間直角坐標系，求出兩條線段的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．（2）連接BD'，DB'交于點O，則點O即為AC'與平面D'DBB'的交點，根據長方體的性質，可得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)，還要掌握空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)的相關知識才是答題的關鍵．