Question

已知集合A={a₁，a₂，…，_ak（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構成兩個相應的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序數對，集合S和T中的元素個數分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有﹣aA，則稱集合A具有性質P．
（I）檢驗集合{0，1，2，3}與{﹣1，2，3}是否具有性質P并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；
（II）對任何具有性質P的集合A，證明： ；
（III）判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質P．
集合{﹣1，2，3}具有性質P，
其相應的集合S和T是 S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．
（II）證明：首先，由A中元素構成的有序數對（a_i，a_j）共有k²個．
因為0A，所以（a_i，a_i）T（i=1，2，，k）；
又因為當a∈A時，﹣aA時，﹣aA，
所以當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）T（i，j=1，2，，k）．
從而，集合T中元素的個數最多為 ，
即 ．
（III）解：m=n，證明如下：
（1）對于（a，b）∈S，根據定義，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個不成立，
從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立．
故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．
可見，S中元素的個數不多于T中元素的個數，即m≤n，
（2）對于（a，b）∈T，根據定義，a∈A，b∈A，且a﹣b∈A，
從而（a﹣b，b）∈S．
如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個不成立，
從而a﹣b=c﹣d與b=d中也不至少有一個不成立，
故（a﹣b，b）與（c﹣d，d）也是S的不同元素．可
見，T中元素的個數不多于S中元素的個數，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．