Question

（理）若半徑是R的球與正三棱柱的各個面都相切，則球與正三棱柱的體積比是

2 3

27

π

．

Answer 1

分析：通過題意求出棱柱的高，底面邊長，底面面積，求出棱柱的體積，球的體積，然后求出體積比．

解答：解：球與正三棱柱各個面都相切，所以三棱柱高H=2R 底面邊長 L=2

3

R 底面面積：S=

3

4

(2

3

R )2=3

3

R²
三棱柱體積：V=SH=6

3

R³；球的體積為：

4π

3

R3
所以球與正三棱柱的體積比：

4π

3

R3：6

3

R³=

2

27

3

π
故答案為：

2 3

27

π．

點評：本題考查正三棱柱的內切球與正三棱柱的關系，通過二者的關系求出正三棱柱的體積，考查計算能力，空間想象能力，是基礎題．