Question

（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，
（I）在側(cè)棱上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得直線(xiàn)與平面所成角的正切值為
；（Ⅱ）若P是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，在線(xiàn)段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得在平面上的射影垂直于．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（I）略   （Ⅱ）略

解法一：（Ⅰ）如圖,設(shè)PC=m,連AC，  
設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)G，,
連結(jié)OG，因?yàn)镻C∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，§
K所以，OG＝PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB₁，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP與平面所成的角．
在Rt△AOG中，tanAGO＝，
即m＝．所以，當(dāng)PC＝時(shí)，
直線(xiàn)AP與平面所成的角的正切值為． …………………6分
（Ⅱ）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A₁C₁的中點(diǎn)O₁，因?yàn)镈₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．那么根據(jù)三垂線(xiàn)定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直． …………………12分
解法二：(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，
B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)
所以
又由知，為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)AP與平面所成的角為，
則。
依題意有解得．
故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AP與平面所成的角的正切值為． ………6分
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 
則Q(x，1－，1)，。
依題意，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等價(jià)于D₁Q⊥AP
即Q為A₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)要求． …………………12分