Question

【題目】用數(shù)學(xué)歸納法證明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1 ．

Answer 1

【答案】證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=（﹣1）0 =1， 故：左邊=右邊，
∴當(dāng)n=1時，等式成立；
②假設(shè)n=k時，等式成立，即 12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2=（﹣1）k﹣1 ．
那么12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2+（﹣1）k（k+1）2
=（﹣1）k﹣1 +（﹣1）k（k+1）2
=（﹣1）k （﹣k+2k+2）
=（﹣1）（k+1）﹣1
即當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
根據(jù)①和②可知等式對任何n∈N+都成立
【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗證當(dāng)n=n0時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．